Question

如图，在三棱锥P-ABC中，底面△ABC为等边三角形，∠APC=90°，AC=2PA=4，且平面PAC⊥平面ABC．
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）求二面角B-AP-C的余弦值；
（3）判断在线段AC上是否存在点Q，使得△PQB为直角三角形？若存在，找出所有符合要求的点Q，并求

AQ

QC

的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用线面、面面垂直的判定和性质及三棱锥的体积计算公式即可得出；
（2）可以建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出二面角的两个平面的法向量的夹角，进而即可得出二面角的大小；
（3）先假设存在，分以下三种情况讨论：当∠PQB=90°时，当∠PBQ=90°时，当∠BPQ=90°时，利用向量的数量积与垂直的关系即可判断出．

解答：解：（1）如图，过P作PO⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC．
在△APC中，∠APC=90°，AC=2PA=4，∴∠PAC=60°，∴PO=APsin60°=

3

，AO=1．
∴三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

PO×S△ABC=

1

3

×

3

×

3

4

×42=4．
（2）取AC，AB的中点分别为M，N，连接BM，ON．
在等边△ABC中，∵O、N分别为AM、AB的中点，∴ON∥BM，∴ON⊥AC．
由（1）可知：PO⊥平面ABC，∴PO⊥ON，PO⊥OC，因此可以建立如图所示的空间直角坐标系．
A（0，-1，0），B（2

3

，1，0），C（0，3，0），P（0，0，

3

）．
∴

AB

=(2

3

，2，0)，

AP

=(0，1，

3

)．
设

n

=（x，y，z）为平面PAB的一个法向量，则

n

•

AB

=0，

n

•

AP

=0．
∴

2 3 x+2y=0 y+ 3 z=0

，令y=-

3

，则x=1，z=1．∴

n

=(1，-

3

，1)．
∵x轴⊥平面APC，∴可以取

m

=(1，0，0)作为平面APC的法向量．
设二面角B-AP-C的大小为θ，由图可知θ∈(0，

π

2

)．
∴cosθ=

| m • n |

| m | | n |

=

1

1+(- 3 )2+1

=

5

5

．
∴二面角B-AP-C的余弦值为

5

5

．
（3）在线段AC上存在点Q，使得△PQB为直角三角形．
设Q（0，m，0）（-1≤m≤3）．
则

PQ

=(0，m，-

3

)，

BQ

=(-2

3

，m-1，0)，

PB

=(2

3

，1，-

3

)．
①当∠PQB=90°时，则

PQ

•

BQ

=0，得m（m-1）=0，解得m=0或1．
当m=0时，Q与O重合，△PQB为直角三角形，且

AQ

QB

=

1

3

；
当m=1时，Q与M重合，△PQB为直角三角形，且

AQ

QB

=1；
②当∠PBQ=90°时，则

PB

•

BQ

=0，得-12+m-1=0，解得m=13，不符合题意，应舍去；
③当∠BPQ=90°时，则

PB

•

PQ

=0，得m+3=0=0，解得m=-3，不符合题意，应舍去．
综上可知：在线段AC上存在点Q，使得△PQB为直角三角形，且

AQ

QB

=

1

3

或

AQ

QB

=1．

点评：熟练掌握线面、面面垂直的判定和性质、三棱锥的体积计算公式、通过建立空间直角坐标系利用二面角的两个平面的法向量的夹角求出二面角的大小、分类讨论的思想方法、向量的数量积与垂直的关系是解题的关键．