Question

5．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，M，N分别为BC、CD上的点，$\overrightarrow{BM}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DN}$=μ$\overrightarrow{DC}$，λ，μ∈（0，1），记$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）当λ=μ=$\frac{1}{2}$时，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-2，求$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$的值．

Answer 1

分析 （1）$λ=μ=\frac{1}{2}$时，容易判断出M，N分别为BC，CD边的中点，从而得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\frac{1}{2}|BD|$，根据四边形ABCD为菱形，及∠BAD=120°便可求出|BD|，从而得出|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|；
（2）根据λ，μ∈（0，1）便可知M，N分别在边BC，CD上，不包括端点，从而可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{DC}）$=-2，进行数量积的运算即可得出2λ+2μ=λμ，这样即可得出$\frac{1}{λ}+\frac{1}{μ}$的值．

解答 解：（1）$λ=μ=\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$；
∴M，N分别是BC，CD的中点；
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{NM}|=\frac{1}{2}|BD|$=$\sqrt{3}$；
（2）$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{DC}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{DC}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}+λ\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}$$+λμ\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$=-2+4μ+4λ-2λμ=-2；
∴2μ+2λ=λμ；
∴$\frac{1}{λ}+\frac{1}{μ}=\frac{1}{2}$．

点评 考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，向量长度的概念，三角形中位线的性质，以及数量积的运算及其计算公式．