Question

13．数列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=2a_n+3ⁿ+1，求a_n．

Answer 1

分析 a_n+1=2a_n+3ⁿ+1，变形为${a}_{n+1}-{3}^{n+1}+1$=2$（{a}_{n}-{3}^{n}+1）$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：a_n+1=2a_n+3ⁿ+1，变形为${a}_{n+1}-{3}^{n+1}+1$=2$（{a}_{n}-{3}^{n}+1）$，
∴数列$\{{a}_{n}-{3}^{n}+1\}$是等比数列，首项为1-3+1=-1，公比为2．
∴${a}_{n}-{3}^{n}$+1=-2^n-1，
∴a_n=3ⁿ-2^n-1-1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．