Question

1．已知关于x的不等式a²x-2a-x＞0在区间[0，$\frac{3}{4}$]内有实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 需要分类讨论，求出不等式的解集使与区间[0，$\frac{3}{4}$]有交集即可．

解答 解：a²x-2a-x＞0，
当a=0时，解得x＜0，不合题意，
当a≠0时，
原不等式化为（a²-1）x＞2a，
当a=1时，不等式解为空集，
当a=-1时，不等式的解集为R，
当-1＜a＜1时a≠0时，不等式的解为x＜$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$，
∵x的不等式a²x-2a-x＞0在区间[0，$\frac{3}{4}$]内有实数解，
∴$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$＞0，
解得a＜0，
∴此时a的取值范围为（-1，0），
当a＜-1或a＞1时，不等式的解为x＞$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$，
∵x的不等式a²x-2a-x＞0在区间[0，$\frac{3}{4}$]内有实数解，
∴$\frac{2a}{{a}^{2}-1}$＜$\frac{3}{4}$，
解得a＞3，或a＜-$\frac{1}{3}$，
∴此时a的取值范围为（-∞，-1）∪（3，+∞），
综上所述a的取值范围为：（-∞，0）∪{3，+∞）．

点评 本题考查了不等式的解集的问题，关键是分类讨论的思想，属于中档题．