Question

5．函数f（x）=xe^x+a在R上取得最小值1-$\frac{1}{e}$，则函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$在区间（-∞，0）上一定（　　）

• A． 有最小值
• B． 有最大值
• C． 是减函数
• D． 是增函数

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得单调区间，可得极小值，也为最小值，可得a=1，化简g（x），求得导数，即可判断g（x）在x＜0的单调性．

解答 解：函数f（x）=xe^x+a的导数为f′（x）=（x+1）e^x，
f（x）在（-∞，-1）递减，（-1，+∞）递增，
即有x=-1处取得极小值，也为最小值，
则a-e^-1=1-e^-1，即a=1，
即g（x）=$\frac{1+x{e}^{x}}{{e}^{x}}$=x+e^-x，
g′（x）=1-e^-x，当x＜0，即-x＞0，e^-x＞1，
g′（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，0）上一定是减函数．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．