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    已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
    （1）求曲线在（1，f（1））处的切线方程；
    （2）证明：0＜x＜1时f（x）＜0．
    考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数单调性的性质
    专题：计算题,证明题,导数的综合应用
    分析：（1）求出导数，求出切线斜率，切点，由点斜式方程，得到切线方程；
    （2）令g（x）=lnx-x，求导数，求单调区间，求出最大值，得到lnx-x+1≤0．从而得证．
    解答： 解：（1）函数f（x）=（x+1）lnx-x+1，
    f′（x）=lnx+（x+1）•
    1
    x
    -1=lnx+
    1
    x
    ，
    f′（1）=1，f（1）=0，
    ∴曲线在（1，f（1））处的切线方程为：y=x-1．
    （2）证明：令g（x）=lnx-x，那么g′（x）=
    1
    x
    -1，
    g′（x）＞0，则0＜x＜1；g′（x）＜0，则x＞1．
    可知当0＜x＜1时单调增，当x＞1时单调减．
    故g（x）=lnx-x 在x=1 处取最大值为gmax=-1，
    故lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0．
    故当0＜x＜1 时，f（x）=xlnx+lnx-x+1＜0．
    点评：本题考查导数的综合运用：求切线方程和求单调区间，求极值、最值，同时考查构造函数应用导数证明问题，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    1
    2
    ，点（1，
    3
    4
    a）在椭圆C上．F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若直线l：x+y-m=0与椭圆C恰有一个公共点，在直线l上求一点P，使△PF1F2的周长最小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知三棱锥D-ABC的底面是正三角形，且DA⊥平面ABC，O为底面中心，M、N是BD上的两点，且BM=DM=3MN
    （1）ON∥平面MAC； 
    （2）若AM⊥BD，求BO与平面MAC所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=2
    		7
    ，PB=PC=2
    		2
    ，求三棱锥的表面积和体积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知|2x-3|≤1的解集为[m，n]．
    （1）求m+n的值；
    （2）若|x-a|＜m，求证：|x|＜|a|+1．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=
    n+2
    3
    an（n∈N*），a1=
    1
    3
    ．
    ①求证：数列{
    an
    n(n+1)
    }为常数列，并求出数列{an}的通项公式；
    ②设Tn=
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    +…+
    1
    an
    ，若对任意的n∈N*，x∈（0，+∞），不等式Tn＜x-2lnx+m恒成立，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义：若曲线y=f（x）与y=g（x）都和直线y=kx+b相切，且满足：f（x）≤kx+b≤g（x）或g（x）≤kx+b≤f（x）恒成立，则称直线y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“内公切线”．已知f（x）=-
    1
    4
    x2，g（x）=ex．
    （1）试探究曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在“内公切线”？若存在，请求出内公切线的方程；若不存在，请说明理由；
    （2）g′（x）是函数g（x）的导设函数，P（x1，g（x1）），Q（x2，g（x2））是函数y=g（x）图象上任意两点，x1＜x2，且存在实数x3，使得g′（x3）=
    g(x2)-g(x1)
    x2-x1
    ，证明：x1＜x3＜x2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z（1-2i）为纯虚数．
    （1）求复数z；
    （2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知空间三点A（1，2，3），B（5，4，7），C（3，5，5），则
    |AB|
    |CB|
    =
     
    ．

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