Question

已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z（1-2i）为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+mi）²在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）设出复数z利用z+2i为实数（i为虚数单位），且z（1-2i）为纯虚数，即可求复数z；
（2）化简复数（z+mi）²为a+bi的形式，通过复平面上对应的点在第四象限，列出表达式组，即可求实数m的取值范围．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）设z=x+yi，（x，y∈R）．　　　　　　　　　     　　　　　　　　　　　　 　…（1分）
由z+2i=x+（y+2）i为实数，得y+2=0，即y=-2．　 　　　　　  　　　…（2分）
又z（1-2i）=x-4-2（1+x）i，…（3分）
由z（1-2i）为纯虚数，得

x-4=0 2(1+x)≠0

，…（5分）
∴x=4，…（6分）
∴z=4-2i．　　　　　　  　　　　　          　  　　　　　　　 　　　…（7分）
（2）∵（z+mi）²=（-m²+4m+12）+8（m-2）i，…（9分）
根据条件，可知

12+4m-m2＞0 8(m-2)＜0

　 　  　　       　  　　      　　  …（10分）
解得-2＜m＜2，…（11分）
∴实数m的取值范围是（-2，2）．　　　  　　          　　 　             …（12分）

点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．