Question

已知函数f（x）=lnx+

2

x

+ax-3（其中a＞0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对?x∈[1，3]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=lnx+

2

x

+x-3，定义域为（0，+∞）．f′(x)=

1

x

-

1

x2

+1．由此利用导数性质能求出函数f（x）的最小值．
（2）当a=1时，f（x）=lnx+

2

x

+x-3≥0恒成立；当a≥1且x∈[1，3]时，f（x）=lnx+

2

x

+ax-3+（a-1）x≥lnx+

2

x

+x-3≥0恒成立；当0＜a＜1时，f′(x)=

1

x

-

2

x2

+a=

ax2+x-2

x2

，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．

解答： （本题满分14分）
解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+

2

x

+x-3，定义域为（0，+∞）．
f′(x)=

1

x

-

1

x2

+1=

x2+x-2

x2

=

(x-1)(x+2)

x2

．
当0＜x＜1时，f′（x）0．
所以，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
所以，f（x）_min=f（1）=0．…（6分）
（2）①由（1）知，当a=1时，f（x）=lnx+

2

x

+x-3≥0恒成立，
所以，当a≥1且x∈[1，3]时，
f（x）=lnx+

2

x

+ax-3+（a-1）x≥lnx+

2

x

+x-3≥0恒成立，符合题意．
②当0＜a＜1时，f′(x)=

1

x

-

2

x2

+a=

ax2+x-2

x2

．
方程ax²+x-2=0的判别式△=1+8a＞0．
所以方程ax²+x-2=0有两根，设为x₁，x₂，且x₁＜x₂．
由x1•x2=-

2

a

＜0，知x₁＜0＜x₂．
所以，0＜x＜x₂时，f′（x）＜0，f（x）在（0，x₂]上为减函数．
由a•1²+1-21．
若1＜x₂＜3，则f（x₂）＜f（1）=a-1＜0，与x∈[1，3]时，f（x）≥0恒成立矛盾．
若x₂≥3，则f（3）＜f（1）=a-1＜0，与x∈[1，3]时，f（x）≥0恒成立矛盾．
所以，0＜a＜1不符合要求．
综上，所求实数a的取值范围为[1，+∞）．…（14分）

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．