Question

如图，曲线C₁是以原点O为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分．曲线C₂是以原点O为顶点，F₂为焦点的抛物线的一部分，A，B是曲线C₁和C₂的交点且∠AF₂F₁为钝角，若|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

．
（1）求曲线C₁和C₂的方程；
（2）设点C，D是曲线C2所在抛物线上的两点（如图）．设直线OC的斜率为k₁，直线OD的斜率为k₂，且k₁+k₂=

2

，证明：直线CD过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设A（x_A，y_A），F₁（-c，0），F₂（c，0），曲线C₁所在椭圆的长轴长为2a，则2a=|AF₁|+|AF₂|=6，由已知及圆锥曲线的定义能求出曲线C₁的方程和曲线C₂的方程．
（2）设直线OC的方程为y=k₁x，由

y=k1x y2=4x

，得（k₁x）²-4x=0，C（

4

k12

，

4

k1

），同理，得D（

4

( 2 -k1)2

，

4

2 -k1

），由此能证明直线CD过定点（0，2

2

）．

解答： （1）解：设A（x_A，y_A），F₁（-c，0），F₂（c，0），
曲线C₁所在椭圆的长轴长为2a，
则2a=|AF₁|+|AF₂|=6，
又由已知及圆锥曲线的定义得：
(xA-c)2+yA2=

25

4

，(xA+c)2+yA2=

49

4

，xA+c=

5

2

，
∴（x_A-c）²=

1

4

，
又∵∠AF₂F₁为钝角，∴xA-c=

1

2

，
∴xA=

3

2

，c=1，
∴曲线C₁的方程为

x2

9

+

y2

8

=1，（-3≤x≤

3

2

）．
曲线C₂的方程为y2=4x(0≤x≤

3

2

)．
（2）设直线OC的方程为y=k₁x，
由

y=k1x y2=4x

，得（k₁x）²-4x=0，
∴C（

4

k12

，

4

k1

），同理，得D（

4

( 2 -k1)2

，

4

2 -k1

），
∴直线CD的方程为：
y-

4

k1

=

4 k1 - 4 2 -k1

4 k12 - 4 ( 2 -k1)2

(x-

4

k12

)=

k1( 2 -k1)

2

(x-

4

k12

)，
即y=

k1( 2 -k1)

2

x+2

2

，
当x=0时，恒有y=2

2

，即直线CD过定点（0，2

2

）．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．