Question

如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F．
（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；
（Ⅱ）若MF=4BF=4，求线段BC的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆內接多边形的性质与判定

专题：立体几何

分析：（Ⅰ）连结AM，由AB为直径可知∠AMB=90°，又CD⊥AB，由此能证明A、E、F、M四点共圆．
（Ⅱ）连结AC，由A、E、F、M四点共圆，得BF•BM=BE•BA，由此能求出线段BC的长．

解答： （Ⅰ）证明：如图，连结AM，
由AB为直径可知∠AMB=90°，
又CD⊥AB，所以∠AEF=∠AMB=90°，
因此A、E、F、M四点共圆．（4分）
（Ⅱ）解：连结AC，由A、E、F、M四点共圆，
所以BF•BM=BE•BA，（6分）
在RT△ABC中，BC²=BE•BA，（8分）
又由MF=4BF=4知BF=1，BM=5，
所以BC²=5，BC=

5

．（10分）

点评：本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．