Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，短轴一个端点到右焦点的距离为

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P (

1

2

，

1

2

)且被P点平分的弦所在直线的方程．
（3）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c a = 6 3 a2=b2+c2=3

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设过点P (

1

2

，

1

2

)的直线与椭圆交于M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），利用点差法能求出过点P (

1

2

，

1

2

)且被P点平分的弦所在直线的方程．
（3）设直线l：y=kx+b，由已知得b²=

3

4

(k2+1)，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

x2 3 +y2=1 y=kx+b

，得：

1+3k2

3

x2+2kbx+b²-1=0，|AB|=

k2+1

•

( -6kb 1+3k2 )2-4× 9k2-3 12k2+4

=

3+ 4 3k2+1 - 4 (3k2+1)2

，设：t=

1

3k2+1

，t∈（0，1]，|AB|=

3+4t-4t2

=

-4(t- 1 2 )2+4

，则当t=

1

2

时，|AB|取最大值|AB|_max=2，由此能求出△AOB面积的最大值．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，
短轴一个端点到右焦点的距离为

3

，
∴

c a = 6 3 a2=b2+c2=3

，
解得a=

3

，b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）设过点P (

1

2

，

1

2

)的直线与椭圆交于M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
由题意知x_M+x_N=1，y_M+y_N=1，
把M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）代入x²+3y²=3，得：

xM2+3yM2=3 xN2+3yN2=3

，∴（x_M+x_N）（x_M-x_N）+3（y_M+y_N）（y_M-y_N）=0，
∴（x_M-x_N）+3（y_M-y_N）=0，
∴k=

yM-yN

xM-xN

=-

1

3

，
∴过点P (

1

2

，

1

2

)且被P点平分的弦所在直线的方程为：
y-

1

2

=-

1

3

（x-

1

2

），整理，得：2x+6y-4=0．
（3）设直线l：y=kx+b
由于：坐标原点O到直线l的距离d=

3

2

，
则由点到直线距离公式，得d=

3

2

=

|b|

k2+1

，
则：b²=

3

4

(k2+1)，由于直线l与椭圆C交与A，B两点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x2 3 +y2=1 y=kx+b

，得：

1+3k2

3

x2+2kbx+b²-1=0，
△＞0，x₁+x₂=

-6kb

1+3k2

，x₁x₂=

9k2-3

12k2+4

，
|AB|=

k2+1

•

( -6kb 1+3k2 )2-4× 9k2-3 12k2+4

=

k2+1

•

27k2(k2+1)-3(3k2-1)(3k2+1) (3k2+1)2

=

3+ 4 3k2+1 - 4 (3k2+1)2

，
设：t=

1

3k2+1

，t∈（0，1]，
则：|AB|=

3+4t-4t2

=

-4(t- 1 2 )2+4

，
则当t=

1

2

时，|AB|取最大值|AB|_max=2，
此时k=±

3

3

，
∴△AOB面积的最大值
（S_△AOB）_max=

1

2

×|AB|max×

3

2

=

3

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点差法和弦长公式的合理运用．