Question

如图，已知三棱锥D-ABC的底面是正三角形，且DA⊥平面ABC，O为底面中心，M、N是BD上的两点，且BM=DM=3MN
（1）ON∥平面MAC； 
（2）若AM⊥BD，求BO与平面MAC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）延长BO交AC于E，连接ME，根据重心的几何特征结合已知和平行线分线段成比例定理可得：ON∥ME，再由线面平行的判定定理得到ON∥平面MAC； 
（2）若AM⊥BD，可得△ABD，以A为原点建立空间坐标系，求出BO的方向向量和平面MAC的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答： 证明：（1）延长BO交AC于E，连接ME，
∵O为底面正三角形ABC的中心，
故E为AC的中点，且BO：OE=2：1，
又由BM=DM=3MN，
∴BN：NM=2：1，
故ON∥ME，
又∵ON?平面MAC，ME?平面MAC，
∴ON∥平面MAC； 
解：（2）∵DA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴DA⊥AB，
又∵ABM为BD的中点，AM⊥BD，
故△ABD为等腰直角三角形，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD=AB=AC=BC=2a，
则B（0，2a，0），D（0，0，2a），M（0，a，a），C（

3

a，a，0），O（

3 a

3

，a，0），
则

BO

=（

3 a

3

，-a，0），

AM

=（0，a，a），

AC

=（

3

a，a，0），
设平面MAC的一个法向量为

m

=（x，y，z），
则由

m ⊥ AM m ⊥ AC

得：

m • AM =0 m • AC =0

，
即

ay+az=0 3 ax+ay=0

，
令x=1，则

m

=（1，-

3

，

3

）为平面MAC的一个法向量，
设BO与平面MAC所成角为θ，
则sinθ=

| m • BO |

| m |•| BO |

=

4 3 3 a

2 3 3 a• 7

=

2 7

7

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，建立空间坐标系，将空间线面夹角问题，转化为向量夹角问题是解答的关键．