Question

已知函数f（x）=|2x-a|+5x．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞5x+1的解集．
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由f（x）＞5x+1化简可得|2x-a|＞1，即2x-a＞1，或2x-a＜-1，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）不等式等价于5x≤2x-a≤-5x，化简得

x≤- a 3 x≤ a 7

．再分若a＜0和a≥0，两种情况，分别根据原不等式的解集为{x|x≤-1}，求a的值，综合可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）＞5x+1化简可得|2x-a|＞1，即2x-a＞1或2x-a＜-1，解得：x＜

a-1

2

或x＞

a+1

2

，
所以，不等式f（x）＞5x+1的解集为{x|x＜

a-1

2

，或x＞

a+1

2

}．
（Ⅱ）不等式|2x-a|+5x≤0等价于5x≤2x-a≤-5x，即

5x≤2x-a 2x-a≤-5x

，化简得

x≤- a 3 x≤ a 7

．
若a＜0，则原不等式的解集为{x|x≤

a

7

}={x|x≤-1}，此时，a=-7；
若a≥0，则原不等式的解集为{x|x≤-

a

3

}={x|x≤-1}，此时，a=3．
综上所述，a=-7，或a=3．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．