Question

抽奖游戏规则如下：一个口袋中装有完全一样的8个球，其中4个球上写有数字“5”，另外4个球上写有数字“10”．
（1）每次摸出一个球，记下球上的数字后放回，求抽奖者四次摸球数字之和为30的概率；
（2）若抽奖者每交2元钱（抽奖成本）获得一次抽奖机会，每次摸出4个球，若4个球数字之和为20或40则中一等奖，奖励价值20元的商品一件；若4个球数字之和为25或35则中二等奖，奖励价值2元的商品一件；若4个球数字之和为30则不中奖．试求抽奖者收益ξ（奖品价值-抽奖成本）的期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）由题意，每次摸球写有数字“5”的概率为

1

2

．四次摸球数字之和为30，只能是两次摸到写有数字“5”，另两次写有数字“10”．设X为4次摸球中写有数字“5”的次数，则X～B（4，

1

2

），由此能求出抽奖者四次摸球数字之和为30的概率．
（2）由题意，抽奖者获得的收益ξ可取18元、0元、-2元，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和抽奖者收益的期望．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）由题意，每次摸球写有数字“5”的概率为

1

2

．                               …（1分）
四次摸球数字之和为30，只能是两次摸到写有数字“5”，另两次写有数字“10”．…（2分）
设X为4次摸球中写有数字“5”的次数，则X～B（4，

1

2

），…（3分）
所以抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为：
P（X=2）=

C

2 4

(

1

2

)2(1-

1

2

)2=

3

8

．
∴抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为

3

8

．…（5分）
（2）由题意，抽奖者获得的收益ξ可取18元、0元、-2元．…（6分）
从8个球中任取4个球的结果数为

C

4 8

，
其中恰好有k个球写有数字“5”的结果数为

C

k 4

•

C

4-k 4

，
所以从8个球中任取4个球，其中恰好k个球写有数字“5”的概率为：
P（Y=k）=

C k 4 • C 4-k 4

C 4 8

，k=0，1，2，3，4，…（8分）
所以P（ξ=18）=P（Y=0）+P（Y=4）
=

C 4 4 • C 0 4

C 4 8

+

C 0 4 C 4 4

C 4 8

=

1

35

，…（9分）
P（ξ=0）=P（Y=1）+P（Y=3）
=

C 1 4 C 3 4

C 4 8

+

C 3 4 C 4-3 4

C 4 8

=

16

35

，…（10分）
P（ξ=-2）=P（Y=2）=

C 2 4 C 2 4

C 4 8

=

18

35

，…（11分）
因此，随机变量ξ的分布列为

ξ	18	0	-2
P	1 35	16 35	18 35

…（12分）
Eξ=18×

1

35

+0×

16

35

+(-2)×

18

35

=-

18

35

．…（13分）
所以，（1）抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为

3

8

；
（2）抽奖者收益的期望为-

18

35

元．…（14分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．