Question

已知数列{a_n}，{b_n}的首项都为1，且a_n+1=2a_n+1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）证明：{a_n+1}是等比数列；
（2）设c_n=（-1）ⁿ（2013-

2bn-2

n

）•（a_n+1），是否存在正整数n₀≤2014，使得不等式c₀≤c_n0对任意的n∈N^*且n≤2014恒成立？若存在，求出n₀；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an+1=2

a

n

+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），由此能证明{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由（1）知an+1=2n，从而b_n+1=b_n+n，由此利用累加法能求出bn=

n(n-1)

2

+1，c_n=（-1）ⁿ•[2013-

n(n-1)

n

]•2ⁿ=（2014-n）•（-2）ⁿ．从而2^n-2（6040-3n）＞0，由此推导出n₀存在，且n₀=2012．

解答： （1）证明：∵an+1=2

a

n

+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=2，
∴{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知an+1=2n，
∴b_n+1=b_n+n，∴b_n=b_n-1+n-1，（n≥2），
∴b_n=b₁+（n-1）+（n-2）+…+1，n≥2，
又∵b₁=1，∴bn=

n(n-1)

2

+1，
∴c_n=（-1）ⁿ•[2013-

n(n-1)

n

]•2ⁿ
=（2014-n）•（-2）ⁿ．
①若n≤2014，且n为正奇数时，c_n＜0；
②若n≤2014，且n为正偶数时，c_n≥0．
令c_n-c_n-2=2ⁿ（2014-n）-2^n-2（2016-n）＞0，
∴2^n-2（6040-3n）＞0，
解得n＜

6040

3

，
又∵n为正偶数，∴{c_n}_max=c₂₀₁₂．
综上所述，n₀存在，且n₀=2012．

点评：本题考查等比数列的证明，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．