Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，又知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足，f（2a+b）＜1，则

b+2

2a+2

的取值范围是（　　）

• A、[

  2

  3

  ，6]
• B、（-∞，

  2

  3

  ）∪（6，+∞）
• C、[

  1

  6

  ，

  3

  2

  ]
• D、（

  1

  3

  ，3）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而 

b+2

a+1

 表示的是可行域中的点与（-1，-2）的连线的斜率问题．由图象可得结论．

解答： 解：由导函数图象，可知函数在（0，+∞）上为单调增函数
∵f（4）=1，正数a，b满足f（2a+b）＜1
∴0＜2a+b＜4，a＞0，b＞0
又因为

b+2

a+1

 表示的是可行域中的点与（-1，-2）的连线的斜率．
所以当（-1，-2）与A（0，4）相连时斜率最大，为6，
当（-1，-2）与B（2，0）相连时斜率最小为

2

3

，
∴

b+2

2a+2

的取值范围是（

1

3

，3）
故选：D．

点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与定点连线的斜率．属于线性规划中的延伸题．