Question

设f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c，当x=x₁∈（-1，0）时取得极大值，当x=x₂∈（0，1）时取得极小值，则2b-a的取值范围为（　　）

• A、（-3，1）
• B、（-2，1）
• C、（-1，1）
• D、（-2，-1）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出范围．

解答： 解：解：∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+b，
∵函数f（x）在区间（-1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得极小值，
∴f′（x）=x²+ax+b=0在（-1，0）和（0，1）内各有一个根，
即f′（0）＜0，f′（1）＞0，f′（-1）＞0，
即a，b满足

b＜0 a-b＜1 a+b＞-1

，
令t=2b-a，
画出a，b满足的平面区域为三角形区域（不含边界）和直线l：2b-a=0，
当l经过点（0，-1）时，t=-2，当经过点（-1，0）时，t=1，
即2b-a的取值范围为（-2，1）．
故选B．

点评：本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程的实根分布，结合二次函数的图象，以及应用线性规划的知识求范围，是一道中档题．