Question

下列四个结论：
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“若x-sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x-sinx≠0”；
③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；
④命题“?x∈R，x-lnx＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀-lnx₀≤0”．
其中正确结论的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,简易逻辑

分析：令y=x-sinx，求出导数，判断单调性，即可判断①；由命题的逆否命题，先将体积、结论调换，再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③；由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断④．

解答： 解：对于①，令y=x-sinx，则y′=1-cosx≥0，则有函数y=x-sinx在R上递增，
则当x＞0时，x-sinx＞0-0=0，则x＞sinx恒成立．则①对；
对于②，命题“若x-sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x-sinx≠0”，则②对；
对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，
则应为必要不充分条件，则③错；
对于④，命题“?x∈R，x-lnx＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀-lnx₀≤0”．则④对．
综上可得，其中正确的叙述共有3个．
故选C．

点评：本题考查函数的单调性的运用，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题．