Question

7．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+2y≤3}\\{4x-y≥-6}\end{array}\right.$，则z=（x-1）²+（y+1）²的取值范围为（　　）

• A． [2，13]
• B． [4，13]
• C． [4，$\sqrt{13}$]
• D． [2，$\sqrt{13}$]

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，由此利用线性规划能求出z=（x-1）²+（y+1）²的取值范围．

解答 解：∵x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+2y≤3}\\{4x-y≥-6}\end{array}\right.$，
∴作出可行域，如图所示的△ABC为可行域，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{4x-y=-6}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，得A（-2，-2），${z}_{A}=（-2-1）^{2}+（-2+1）^{2}$=10，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+2y=3}\end{array}\right.$，得B（1，1），${z}_{B}=（1-1）^{2}+（1+1）^{2}$=4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{4x-y=-6}\\{x+2y=3}\end{array}\right.$，得C（-1，2），z_C=（-1-1）²+（2+1）²=13．
∴z=（x-1）²+（y+1）²的取值范围为[4，13]．
故选：B．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，考查线性规划等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．