Question

18．曲线C的方程：$\frac{{x}^{2}}{5-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-2}$=1．
（1）当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？
（2）当m为何值时，曲线C表示双曲线？

Answer 1

分析 （1）根据题意，由焦点在x轴的椭圆的标准方程的形式可得$\left\{\begin{array}{l}{5-m＞0}\\{m-2＞0}\\{5-m＞m-2}\end{array}\right.$，解可得m的取值范围；
（2）由双曲线的标准方程，分析可得（5-m）（m-2）＜0，解可得m的取值范围．

解答 解：（1）根据题意，若方程$\frac{{x}^{2}}{5-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-2}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，
则有$\left\{\begin{array}{l}{5-m＞0}\\{m-2＞0}\\{5-m＞m-2}\end{array}\right.$，
解可得2＜m＜$\frac{7}{2}$，
则当2＜m＜$\frac{7}{2}$时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；
（2）若方程$\frac{{x}^{2}}{5-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-2}$=1表示双曲线，
则有（5-m）（m-2）＜0，
解可得m＜2或m＞5，
则当m＜2或m＞5时，曲线C表示双曲线．

点评 本题考查椭圆、双曲线的标准方程，关键是掌握椭圆、双曲线的标准方程的形式．