Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x-lnx．
（1）当a=0时，求函数的极值；
（2）若f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=0时，f（x）=2x-lnx．（x＞0）．f′（x）=2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2（x-\frac{1}{2}）}{x}$．利用单调性即可得出极值．
（2）f′（x）=ax+2-$\frac{1}{x}$，∵f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上是增函数，由f′（x）≥0在[$\frac{1}{3}$，2]上恒成立，可得ax+2-$\frac{1}{x}$≥0，化为：a≥$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$．令g（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$．x∈[$\frac{1}{3}$，2]．利用以及其单调性极值与最值，即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=2x-lnx．（x＞0）．
f′（x）=2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2（x-\frac{1}{2}）}{x}$．
∴当x∈$（0，\frac{1}{2}）$时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x∈$（\frac{1}{2}，+∞）$时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得极小值，$f（\frac{1}{2}）$=$2×\frac{1}{2}-ln\frac{1}{2}$=1+ln2．
（2）f′（x）=ax+2-$\frac{1}{x}$，∵f（x）在[$\frac{1}{3}$，2]上是增函数，
∴f′（x）≥0在[$\frac{1}{3}$，2]上恒成立，∴ax+2-$\frac{1}{x}$≥0，化为：a≥$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$．
令g（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$．x∈[$\frac{1}{3}$，2]．
g′（x）=$\frac{2（x-1）}{{x}^{3}}$，可知：x∈$[\frac{1}{3}，1）$时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；x∈（1，2]时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．$g（\frac{1}{3}）$=3，g（2）=-$\frac{3}{4}$．可知：x=$\frac{1}{3}$时函数g（x）取得最大值3．
∴a≥3．
∴实数a的取值范围是[3，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．