Question

3．证明：sinα+sinβ=2sin$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$．

Answer 1

分析 令a=$\frac{α+β}{2}$，b=$\frac{α-β}{2}$，则α=a+b，β=a-b，再利用正弦函数加法定理能证明sinα+sinβ=2sin$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$．

解答 证明：令a=$\frac{α+β}{2}$，b=$\frac{α-β}{2}$，则α=a+b，β=a-b
sin（a+b）=sinacosb+cosasinb
sin（a-b）=sinacosb-cosasinb
两式相加得：
sin（a+b）+sin（a-b）=2sinacosb
∴sinα+sinβ=2sin$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$．

点评 本题考查和差化积公式的证明，考查换元法、正弦函数加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想，是基础题．