Question

14．已知函数f（x）=ax^m+bx（a、b、m∈R，a≠0）的图象关于y轴对称，在点x=1处的切线方程为y=2x-1，数列{a_n}各项均为正值，且a₁=m，a₂=2m，且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=f（$\frac{{a}_{{n}_{+1}}}{{a}_{n}}$）（n＞1），则a₆=（　　）

• A． $\frac{1}{{2}^{10}}$
• B． $\frac{1}{{2}^{15}}$
• C． 2${\;}^{\frac{31}{16}}$
• D． 2${\;}^{\frac{47}{16}}$

Answer 1

分析 f′（x）=max^m-1+b，根据题意可得b=0，f′（1）=ma+b=2，f（1）=a+b=1，可得f（x）=x²．可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=f（$\frac{{a}_{{n}_{+1}}}{{a}_{n}}$）=$（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}）^{2}$（n＞1），a_n＞0．即可得出．

解答 解：f′（x）=max^m-1+b，
∵函数f（x）=ax^m+bx（a、b、m∈R，a≠0）的图象关于y轴对称，在点x=1处的切线方程为y=2x-1，
∴b=0，f′（1）=ma+b=2，f（1）=a+b=1，
解得b=0，a=1，m=2．
∴f（x）=x²．
∴a₁=m=2，a₂=2m=4，
且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=f（$\frac{{a}_{{n}_{+1}}}{{a}_{n}}$）=$（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}）^{2}$（n＞1），a_n＞0．
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=（\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}）^{2}$，解得a₃=4$\sqrt{2}$，同理可得：a₄=4$\root{4}{8}$，a₅=4$\root{8}{128}$，a₆=4$\root{16}{32768}$=${2}^{\frac{47}{16}}$．
故选：D．

点评 本题考查了数列递推关系、利用导数函数切线方程、方程的解法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．