Question

9．已知sinα+sinβ=$\frac{1}{4}$，cosα+cosβ=$\frac{1}{3}$，则sin（α+β）=$\frac{24}{25}$．

Answer 1

分析 先利用和差化积公式化简已知，将两式相除后，利用同角三角函数基本关系式可求tan$\frac{α+β}{2}$，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值．

解答 解：∵sinα+sinβ=2sin$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{4}$，①
cosα+cosβ=2cos $\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{3}$，②
∴①÷②可得：tan $\frac{α+β}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin（α+β）=$\frac{2tan\frac{α+β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{2×\frac{3}{4}}{1+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{24}{25}$．
故答案为：$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查了和差化积公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．