Question

19．如图所示，F₁和F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF₁|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 连接AF₁，根据△F₂AB是等边三角形可知∠AF₂B=60°，F₁F₂是圆的直径可表示出|AF₁|、|AF₂|，再由双曲线的定义可得$\sqrt{3}$c-c=2a，从而可求双曲线的离心率．

解答 解：连接AF₁，则∠F₁AF₂=90°，∠AF₂B=60°，
∴|AF₁|=c，|AF₂|=$\sqrt{3}$c，
∴$\sqrt{3}$c-c=2a，
∴e=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1，
故选：D．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用，属基础题．