Question

11．如图，在三棱锥A-BCD中，AD=BD，∠ABC=90°，点E，F分别在棱AB，AC上，点G为棱AD的中点，平面EFG∥平面BCD．证明：
（Ⅰ）EF=$\frac{1}{2}$BC；
（Ⅱ）平面EFD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出EF∥BC，EG∥BD，FG∥DC，由点G为棱AD的中点，能证明EF=$\frac{1}{2}$BC．
（Ⅱ）推导出DE⊥AB，EF⊥AB，从而AB⊥平面EFD，由此能证明平面EFD⊥平面ABC．

解答 证明：（Ⅰ）∵在三棱锥A-BCD中，AD=BD，∠ABC=90°，
点E，F分别在棱AB，AC上，点G为棱AD的中点，平面EFG∥平面BCD，
∴EF∥BC，EG∥BD，FG∥DC，
∵点G为棱AD的中点，
∴点E，F分别为棱AB，AC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC．
（Ⅱ）∵AD=BD，E是AB的中点，∴DE⊥AB，
∵∠ABC=90°，EF∥BC，∴EF⊥AB，
∵DE∩EF=E，∴AB⊥平面EFD，
∵AB?平面ABC，∴平面EFD⊥平面ABC．

点评 本题考查中位线定理的应用，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．