Question

6．椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的一条弦被点（1，1）平分，则此弦所在的直线方程是（　　）

• A． 4x-9y+5=0
• B． 9x-4y-5=0
• C． 9x+4y-13=0
• D． 4x+9y-13=0

Answer 1

分析 设直线与椭圆相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.$\frac{{x}_{1}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，相减再利用$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，即可得出．

解答 解：设直线与椭圆相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
$\frac{{x}_{1}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，
相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{9}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0，
又$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
∴2×4+9×2k=0，解得k=-$\frac{4}{9}$．
∴此弦所在的直线方程是y-1=$-\frac{4}{9}$（x-1），化为：4x+9y-13=0．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．