Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其一个顶点为B（0，4），离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，直线l交椭圆C于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；
（3）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

Answer 1

分析 （1）由已知得b=4，结合离心率及隐含条件求得a，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，求出M，N的横坐标，代入弦长公式得答案；
（3）椭圆右焦点F得坐标为（2，0），设线段MN的中点为Q（x₀，y₀），利用三角形重心的性质列式求得Q，再设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由中点坐标公式及点差法列式求得直线MN的斜率，代入直线方程点斜式得答案．

解答 解：（1）由已知得，b=4，且$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{5}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{5}$，得a²=20．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，得9x²-40x=0，解得x₁=0，${x}_{2}=\frac{40}{9}$．
∴所求弦长|MN|=$\sqrt{2}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\frac{40\sqrt{2}}{9}$；
（3）椭圆右焦点F得坐标为（2，0），设线段MN的中点为Q（x₀，y₀），
由三角形重心的性质$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FQ}$，又B（0，4），
∴（2，-4）=2（x₀-2，y₀），得x₀=3，y₀=-2．
即Q（3，-2），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4．
且$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{16}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{16}=1$，
以上两式相减得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{20}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{16}=0$．
∴${k}_{MN}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{4}{5}×\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$-\frac{4}{5}×\frac{6}{-4}=\frac{6}{5}$．
∴直线MN的方程为y+2=$\frac{6}{5}（x-3）$，
即6x-5y-28=0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了“点差法”在求解中点弦问题中的应用，是中档题．