Question

12．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{-1≤x-y≤0}\end{array}\right.$
（Ⅰ）求z=2x-y的最大值；
（Ⅱ）求z=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域．
（1）化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案；
（2）直接由$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的几何意义求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{-1≤x-y≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

（1）由z=2x-y，得y=2x-z，
由图可知，当直线y=2x-z过点B（3，3）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×3-3=3；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$，得C（3，4）．
z=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的几何意义为可行域内的动点到原点的距离，
由图可知，z_min=|OA|=$\sqrt{2}$．
z_max=|OC|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∴z的取值范围是[$\sqrt{2}$，5]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．