Question

7．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，cos²$\frac{B}{2}$=$\frac{a+c}{2c}$，则△ABC是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 正三角形
• C． 等腰三角形或直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 根据二倍角公式和正弦定理化简，结合三角形内角的范围得出答案．

解答 解：∵cos²$\frac{B}{2}$=$\frac{a+c}{2c}$，
∴$\frac{1+cosB}{2}$=$\frac{sinA+sinC}{2sinC}$=$\frac{sinA}{2sinC}+\frac{1}{2}$，
∴sinA=sinCcosB，
又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC=0，
∴sinB=0或cosC=0，
∵0＜B＜π，0＜C＜π，
∴sinB≠0，cosC=0，
∴C=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC是直角三角形，
故选：A．

点评 本题考查了三角形的形状判断，正弦定理及三角恒等变换，属于中档题．