Question

19．如图，已知四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=$\sqrt{2}$AB=2CF=2
（1）求证：EC⊥平面BDF；
（2）求二面角E-BD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作AE的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EC⊥平面BDF．
（2）求出平面BDF的一个法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角E-BD-F的余弦值．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=$\sqrt{2}$AB=2CF=2，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作AE的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}，0，2$），B（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），D（0，0，0），F（0，$\sqrt{2}$，1），
$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{EC}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，-2），
∴$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EC}$=-2+2+0=0，$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{EC}$=0+2-2=0，
∴$\overrightarrow{DB}⊥\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{DF}⊥\overrightarrow{EC}$，∴DB⊥EC，DF⊥EC，
∵DB∩DF=D，∴EC⊥平面BDF．
解：（2）∵EC⊥平面BDF，∴平面BDF的一个法向量为$\overrightarrow{EC}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，2），
$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，0$），$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{2}，0，2$），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\sqrt{2}x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，-1），
设二面角E-BD-F的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{EC}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|-2-2-2|}{\sqrt{2+2+4}•\sqrt{2+2+1}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴二面角E-BD-F的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．