Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点为F，右顶点为E，P为直线x=$\frac{5}{4}$a上的任意一点，且（$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PE}$）•$\overrightarrow{EF}$=2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点（点A在第一象限），动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB=∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．

Answer 1

分析 （I）根据（$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PE}$）•$\overrightarrow{EF}$=2列方程得出a，c的关系，再根据离心率求出a，b得出椭圆方程；
（II）由题意可知AM与AN的斜率之和为0，设l方程：y=kx+m，代入椭圆方程，根据根与系数的关系列出恒等式求出k的值．

解答 解：（I）F（c，0），E（a，0），设P（$\frac{5a}{4}$，y），
则$\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{PF}$=（$c-\frac{3a}{2}$，-2y），$\overrightarrow{EF}$=（c-a，0），
∴（$\overrightarrow{PF}$+$\overrightarrow{PE}$）•$\overrightarrow{EF}$=（c-$\frac{3a}{2}$）（c-a）=2，
∵椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴a=2c，
∴c=1，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）直线AB的方程为x=1，代入椭圆方程得y=±$\frac{3}{2}$．
∴A（1，$\frac{3}{2}$），
设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由题意可知△＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵∠MAB=∠NAB，∴k_AM+k_AN=0，
∵k_AM=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{k{x}_{1}+m-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$，k_AN=$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k{x}_{2}+m-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$，
∴$\frac{k{x}_{1}+m-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}+m-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=2k+（k+m-$\frac{3}{2}$）$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{2}+1}$=2k-（k+m-$\frac{3}{2}$）$\frac{8km+8{k}^{2}+6}{4{m}^{2}+4{k}^{2}+8km-9}$=0，
∴（4k-2）m+4k²-8k+3=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k-2=0}\\{4{k}^{2}-8k+3=0}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{1}{2}$．
∴直线MN的斜率为定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．