Question

1．设函数f（x）=sin（ωx+φ），x∈R，其中$ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}$．若$f（\frac{π}{2}）=1，f（-\frac{π}{4}）=0$，且f（x）的最小正周期大于2π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析表达式；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}]$内的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦函数的周期性、图象的对称性求出ω和φ的值，可得函数f（x）的解析表达式．
（Ⅱ）利用正弦函数的周期性求得f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}]$内的单调性．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）的最小正周期大于2π，得$\frac{T}{4}＞\frac{π}{2}$．
又$f（\frac{π}{2}）=1，f（-\frac{π}{4}）=0$，得$\frac{T}{4}=\frac{π}{2}+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$，∴T=3π，则$\frac{2π}{ω}=3π，ω=\frac{2}{3}$，
∴$f（x）=sin（ωx+φ）=sin（\frac{2}{3}x+φ）$．
由$f（\frac{π}{2}）=1$，$sin（\frac{2}{3}•\frac{π}{2}+φ）=1$，得$sin（\frac{π}{3}+φ）=1$，∴$\frac{π}{3}+φ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈R$．
取k=0，得$φ=\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，满足题意．
∴$ω=\frac{2}{3}，φ=\frac{π}{6}$，∴函数解析式为$f（x）=sin（\frac{2}{3}x+\frac{π}{6}）$．
（Ⅱ）当$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}]$时，$\frac{2}{3}x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，
∴由-$\frac{π}{6}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$，求得-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$；由 $\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，求得$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{3π}{4}$，
∴当$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}]$时，f（x）单调递增区间为$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$；单调递减区间为$[\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}]$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．