Question

16．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos2A=$\frac{7}{2}$．
（Ⅰ）求角A的度数；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据诱导公式和二倍角公式即可求出；
（Ⅱ）根据余弦定理求出bc，再根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵B+C=π-A，即$\frac{B+C}{2}$=$\frac{π}{2}-\frac{A}{2}$，
由4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos 2A=$\frac{7}{2}$，得4cos²$\frac{A}{2}$-cos 2A=$\frac{7}{2}$，
即2（1+cos A）-（2cos²A-1）=$\frac{7}{2}$，
整理得4cos²A-4cos A+1=0，即（2cos A-1）²=0．
∴cos A=$\frac{1}{2}$，又0°＜A＜180°，
∴A=60°．
（Ⅱ）由A=60°，根据余弦定理cos A=$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$，得$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．
∴b²+c²-bc=3，即（b+c）²-3bc=3，
∴bc=2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×1×2×sin 60°=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．