Question

4．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
（1）求异面直线BC₁与AA₁所成的角的大小；
（2）求证：B₁D⊥平面A₁C₁B．

Answer 1

分析 （1）说明异面直线BC₁与AA₁所成的角就是BC₁与BB₁所成的角，求解即可．
（2）连结BD、B₁D₁，证明A₁C₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥BB₁，推出A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，得到B₁D⊥A₁C₁，证明B₁D⊥BC₁，然后证明B₁D⊥平面A₁C₁B．

解答 （本题满分10分）
（1）解：∵AA₁∥BB₁，
∴异面直线BC₁与AA₁所成的角就是BC₁与BB₁所成的角，即∠B₁BC₁=45^o，
故异面直线BC₁与AA₁所成的角为45^o
（2）证明：如图，连结BD、B₁D₁，

∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
又∵BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?底面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁C₁⊥BB₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
∴B₁D⊥A₁C₁，同理可证：B₁D⊥BC₁，且A₁C₁∩BC₁=C₁
故B₁D⊥平面A₁C₁B．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．