Question

12．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1），对任意的x₁，x₂∈[0，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤a-1恒成立，则实数a的取值范围为[e，+∞）．

Answer 1

分析 对?x₁，x₂∈[0，1]不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤a-1恒成立等价于|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a-1，而|f（x₁）-f（x₂）|_max=f（x）_max-f（x）_min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．

解答 解：f′（x）=a^xlna+2x-lna=（a^x-1）lna+2x，
当a＞1时，x∈[0，1]时，a^x≥1，lna＞0，2x≥0，
此时f′（x）≥0；
f（x）在[0，1]上单调递增，
f（x）_min=f（0）=1，f（x）_max=f（1）=a+1-lna，
而|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=a-lna，
由题意得，a-lna≤a-1，解得a≥e，
故答案为：[e，+∞）．

点评 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．