Question

6．在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，且c=2，C=60°．
（1）求$\frac{a+b}{sinA+sinB}$的值；
（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理表示出a，b，带入化简可得答案．
（2）c=2，C=60°．利用余弦定理求ab的值即可得△ABC的面积S．

解答 解：（1）c=2，C=60°．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB．
∴$\frac{a+b}{sinA+sinB}$=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}（sinA+sinB）}{sinA+sinB}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
（2）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
即4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
又a+b=ab，
∴（ab）²-3ab-4=0，
解得：ab=4或ab=-1（舍去）
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理和灵活运用和三角形面积的计算．考查计算能力．属于基础题．