Question

18．已知等差数列{a_n}，如果a₄=4，a₃+a₇=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求b_n的前n和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质求出a₅，得出公差，从而得出通项公式；
（2）利用错位相减法求和．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差数列，∴a₅=$\frac{1}{2}$（a₃+a₇）=5，
∴d=a₅-a₄=1，
∴a_n=a₄+（n-4）d=n．
（2）b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，错位相减法数列求和，属于中档题．