Question

8．若平面α的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（-2，3，1），直线l的一个方向向量为$\overrightarrow{a}$=（1，-2，3），则l与α所成角的正弦值为$\frac{5}{14}$．

Answer 1

分析 设l与α所成角为θ，则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{a}|}$，由此能求出l与α所成角的正弦值．

解答 解：∵平面α的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（-2，3，1），直线l的一个方向向量为$\overrightarrow{a}$=（1，-2，3），
设l与α所成角为θ，
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{|-2-6+3|}{\sqrt{4+9+1}•\sqrt{1+4+9}}$=$\frac{5}{14}$．
∴l与α所成角的正弦值为$\frac{5}{14}$．
故答案为：$\frac{5}{14}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．