Question

16．已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围
（2）若x=-$\frac{1}{3}$是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[1，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3x²-2ax-3，∵函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，由3x²-2ax-3≥0，化为：2a≤$\frac{3{x}^{2}-3}{x}$在区间[1，+∞）上恒成立．令g（x）=$\frac{3{x}^{2}-3}{x}$，利用导数研究其单调性即可得出．
（2）x=-$\frac{1}{3}$是函数f（x）的极值点，∴${f}^{′}（-\frac{1}{3}）$=0，解得a．可得x∈[1，4]．f′（x）=3x²-8x-3=（3x+1）（x-3），令f′（x）=0，解得x=3．列出表格，即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-3，∵函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，∴3x²-2ax-3≥0，化为：2a≤$\frac{3{x}^{2}-3}{x}$在区间[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{3{x}^{2}-3}{x}$，则g′（x）=$\frac{3{x}^{2}+3}{{x}^{2}}$＞0在区间[1，+∞）上恒成立，∴函数h（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
∴h（x）_min=h（1）=0．∴2a≤0，解得a≤0．当a=0时，只有f′（1）=0．
∴实数a的取值范围是（-∞，0]．
（2）∵x=-$\frac{1}{3}$是函数f（x）的极值点，∴${f}^{′}（-\frac{1}{3}）$=$3×（-\frac{1}{3}）^{2}$-2a×$（-\frac{1}{3}）$-3=0，解得a=4．∴x∈[1，4]．
∴f′（x）=3x²-8x-3=（3x+1）（x-3），令f′（x）=0，解得x=3．
列出表格：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	-6	单调递减	极小值-18	单调递增	-12

由表格可得：函数f（x）在[1，4]上的最大值为f（1）=-6．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．