Question

1．已知双曲线过点P（4，1），且它的两条渐近线方程为x±2y=0
（1）求双曲线的方程
（2）写出它的顶点坐标，焦点坐标，并求离心率e．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，（λ≠0），将P的坐标代入计算可得λ的值，将λ的值代入双曲线的方程中，即可得答案；
（2）由（1）中求出的双曲线的标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值，结合双曲线的几何性质，分析可得答案．

解答 解：（1）根据题意，双曲线的两条渐近线方程为x±2y=0，即y=±$\frac{1}{2}$x，
设其方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，（λ≠0）
又由双曲线过点P（4，1），
则有$\frac{16}{4}$-1=λ，解可得λ=3，
则双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由（1）可得，双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
其中a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{12+3}$=$\sqrt{15}$，
其顶点坐标为（±2$\sqrt{3}$，0），
焦点坐标为（±$\sqrt{15}$，0），
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质与标准方程，关键是待定系数法求出双曲线的标准方程．