Question

18．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由直线过定点可得A，B的坐标，斜率可知两直线垂直，可得|PA|²+|PB|²=|AB|²=10，由基本不等式可得．

解答 解：由题意可得动直线x+my=0过定点A（0，0），斜率k=$-\frac{1}{m}$，
直线mx-y-m+3=0可化为（x-1）m+3-y=0，斜率k=m．
令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{3-y=0}\end{array}\right.$可解$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（1，3），
又1×m+m×（-1）=0，故两直线垂直，
即交点为P，
∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10，
由基本不等式可得10=|PA|²+|PB|²
=（|PA|+|PB|）²-2|PA||PB|
≥（|PA|+|PB|）²-2$（\frac{|PA|+|PB|}{2}）^{2}$
=$\frac{1}{2}$（|PA|+|PB|）²，
∴（|PA|+|PB|）²≤20，
解得：|PA|+|PB|≤$2\sqrt{5}$，
当且仅当|PA|=|PB|$\sqrt{5}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查两点间的距离公式，涉及直线过定点和整体利用基本不等式求最值，属中档题