Question

9．设O为坐标原点，已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线C₂：x²=-ay的准线方程为y=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C₁交于不同的两点P，Q，若O在以PQ为直径的圆上，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据准线方程计算a，利用离心率计算c，从而得出b；
（Ⅱ）设直线t的斜率为k，得出直线t的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系计算 $\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$，令 $\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$＞0得出k的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线C₂：x²=-ay的准线方程为y=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{4}$=$\frac{1}{2}$，解得a=2
∴抛物线C₂的方程为x²=-2y，
∵椭圆C₁的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\sqrt{3}$，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1．
（Ⅱ）当直线t无斜率时，O为PQ的中点，不符合题意；
当直线t有斜率时，设直线t的方程为y=kx+2，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，消元得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．
∵直线t与椭圆交于两点，
∴△=256k²-48（1+4k²）＞0，∴k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+4=$\frac{16-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∵O在以PQ为直径的圆的外部，∴∠POQ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$＞0，
∴16-4k²＞0，解得-2＜k＜2．
综上，k的取值范围是（-2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）．

点评 本题考查了圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，常利用根与系数的关系化简计算，属于中档题．