Question

1．已知矩形ABCD，AB=2AD=2a（a＞0），连接四条边的中点成一个新的四边形，记其面积为b₁；然后在得到的四边形中，再连接四条边的中点又成一个新的四边形，如图，记其面积为b₂；按此方法依次做下去…
（1）求b₁和b₂；
（2）记b_n为第n次（n∈N^*）得到的四边形的面积，写出b_n关于n的表达式（不必证明）．
（3）求经过n次（n∈N^*）后所得n个四边形的面积之和．

Answer 1

分析 （1）由图形直接可写出b₁和b₂；
（2）由图可知新正方形的面积是上一个正方形面积的一半，故可得到答案；
（3）由题意，利用等比数列前n项和公式求S

解答 解：（1）矩形ABCD，AB=2AD=2a，则矩形的面积为2a²，
则连接四条边的中点成一个新的四边形的面积均为上一个的一半，
则b₁=$\frac{1}{2}$•2a²=a²，b₂=$\frac{1}{2}$a²，
（2）记b_n为第n次（n∈N^*）
得到的四边形的面积，
则b_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a²，
（3）S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$•a²=（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）a²，

点评 本题考查了学生的想象力及等比数列的通项及前n项和公式应用，属于中档题．