Question

16．已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx，x∈R．
（1）求$f（{\frac{π}{6}}）$的值；
（2）若$sinα=\frac{3}{5}$，且$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，求$f（{\frac{α}{2}+\frac{π}{24}}）$．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，代入$\frac{π}{6}$求解即可．
（2）利用函数的解析式化简所求的表达式，通过两角和与差的三角函数以及同角三角函数的基本关系式求解即可．

解答 解：$f（x）={cos^2}x+sinxcosx=\frac{1+cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（{sin2x+cos2x}）$=$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）$．
（1）$f（{\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（{sin\frac{π}{3}+cos\frac{π}{3}}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$．
（2）$f（{\frac{a}{2}+\frac{π}{24}}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{α+\frac{π}{12}+\frac{π}{4}}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{α+\frac{π}{3}}）$=$\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{sinα•\frac{1}{2}+cosα•\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
∵$sinα=\frac{3}{5}$，且$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴$cosα=-\frac{4}{5}$，
∴$f（{\frac{α}{2}+\frac{π}{24}}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{\frac{3}{5}×\frac{1}{2}-\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）=\frac{{10+3\sqrt{2}-4\sqrt{6}}}{20}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数同角三角函数基本关系式的应用，二倍角公式的应用，考查计算能力．