Question

5．已知向量$\vec m=（sinx，\sqrt{3}cosx）$，$\vec n=（cosx，cosx）$，设函数$f（x）=\vec m•\vec n-\frac{3}{2}\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}]$，且$F（x）=f（x）-cos（4x+\frac{2π}{3}）$，求F（x）的最大值；
（Ⅲ）若[f（x）]²-（2+m）f（x）+2+m≤0在x∈R上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的数量积公式和二倍角公式以及两角和得正弦公式可化简f（x），再根据正弦函数的性质即可求出单调递增区间，
（Ⅱ）化简F（x），根据二次函数的性质即可求出最大值，
（Ⅲ）由题意可转化为m≤-[f（x）+1]-$\frac{1}{f（x）+1}$，根据基本不等式即可求出m的范围

解答 解：（Ⅰ）向量$\vec m=（sinx，\sqrt{3}cosx）$，$\vec n=（cosx，cosx）$，
设函数$f（x）=\vec m•\vec n-\frac{3}{2}\sqrt{3}$=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（cos2x+1）-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$
∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{5}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{5}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z，
（Ⅱ）$F（x）=f（x）-cos（4x+\frac{2π}{3}）$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$-[1-2sin²（2x+$\frac{π}{3}$）]=2sin²（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1-$\sqrt{3}$=2[sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$]²-$\frac{9}{8}$-$\sqrt{3}$
∵$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}]$，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
当in（2x+$\frac{π}{3}$）=1时，函数F（x）取得最大值，
即为F（x）_max=2-$\sqrt{3}$，
（Ⅲ）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$
∴-1-$\sqrt{3}$≤f（x）≤1-$\sqrt{3}$，
∴-2-$\sqrt{3}$≤f（x）-1≤-$\sqrt{3}$，
∵[f（x）]²-（2+m）f（x）+2+m≤0在x∈R上恒成立，
∴[f（x）-1]²+1-m[（f（x）-1]≤0在x∈R上恒成立，
∴m≤-[f（x）+1]-$\frac{1}{f（x）+1}$，
∵-[f（x）+1]-$\frac{1}{f（x）+1}$≥2，当且仅当f（x）+1=-1时取等号，
∴m≤2

点评 本题考查了向量的数量积以及三角函数的化简和性质，以及基本不等式和二次函数的性质，属于中档题