Question

15．在直三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是边长为2的正三角形，D'是棱A'C'的中点，且AA'=2$\sqrt{2}$．
（1）试在棱CC'上确定一点M，使A'M⊥平面AB'D'；
（2）当点M在棱CC'中点时，求直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC边中点为O，则OB⊥AC，连接OD'，建立以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出当CM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，A'M⊥平面AB'D'．
（2）当点M在棱CC'中点时，M（0，1，$\sqrt{2}$ ），求出平面A′BM的一个法向量，利用向量法能求出直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值．

解答 解：（1）取AC边中点为O，∵底面ABC是边长为2的正三角形，∴OB⊥AC，
连接OD'，∵D'是边A'C'的中点，∴OD'⊥AC，OD'⊥OB，
建立以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴如图所示的空间直角坐标系…（2分）
则有O（0，0，0），A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），
B'（$\sqrt{3}$，0，2$\sqrt{2}$ ），A'（0，-1，2$\sqrt{2}$ ），D'（0，0，2$\sqrt{2}$ ），C'（0，1，2$\sqrt{2}$ ），
设M（0，1，t），则$\overrightarrow{{A}^{'}M}$=（0，2，t-2$\sqrt{2}$ ），$\overrightarrow{A{D}^{'}}$=（0，1，2$\sqrt{2}$ ），$\overrightarrow{A{B}^{'}}$=（$\sqrt{3}$，1，2$\sqrt{2}$ ）…（4分）
若A'M⊥平面AB'D'，则有A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{A}^{'}M}•\overrightarrow{A{D}^{'}}=0+2+（t-2\sqrt{2}）•2\sqrt{2}=0}\\{\overrightarrow{{A}^{'}M}•\overrightarrow{A{B}^{'}}=0+2+（t-2\sqrt{2}）•2\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，解得t=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
即当CM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，A'M⊥平面AB'D'．…（6分）
（2）当点M在棱CC'中点时，M（0，1，$\sqrt{2}$ ），
∴$\overrightarrow{B{M}^{'}}$=（-$\sqrt{3}，1，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{A}^{'}M}$=（0，2，-$\sqrt{2}$），
设平面A′BM的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}=-\sqrt{3}x+y+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{{A}^{'}M}•\overrightarrow{n}=0+2y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{2}$），…（9分）
设直线AB'与平面A'BM所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}^{'}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{A{B}^{'}}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查满足线面垂直的点的确定，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．