Question

10．小李同学要画函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象，其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，小李同学用“五点法”列表，并填写了一些数据，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
X	-$\frac{π}{8}$		$\frac{3π}{8}$
f（x）	3			0	3

（1）请将表格填写完整，并求出函数f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x），求g（x）的图象中离y轴最近的对称轴．

Answer 1

分析 （1）借助题设条件运用余弦函数的图象和性质求解；
（2）依据题设运用余弦函数的单调性进行探求．

解答 解：（1）填表如下：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$-\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$
f（x）	3	0	-3	0	3

从表中可知，A=3，$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{{2×[{\frac{3π}{8}-（-\frac{π}{8}）}]}}=2$，
则f（x）=3cos（2x+φ），
代入最值点$（-\frac{π}{8}，3）$，得$φ=\frac{π}{4}+2kπ$，k∈Z，
由已知$|φ|＜\frac{π}{2}$，
所以$φ=\frac{π}{4}$，
所以$f（x）=3cos（2x+\frac{π}{4}）$．
（2）依题意，$g（x）=3cos[{2（x-\frac{π}{3}）+\frac{π}{4}}]=3cos（2x-\frac{5π}{12}）$，
令$2x-\frac{5π}{12}=kπ$，k∈Z，解得$x=\frac{5}{24}π+\frac{kπ}{2}$，
当k=0时，得离y轴最近的对称轴为$x=\frac{5π}{24}$．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．