Question

2．已知函数f（x）=2^|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8，其中m为参数．
（1）若m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；
（2）若方程f（x）=2^|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解，求实数m的取值范围；
（3）当m＜4时，若对任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的定义写出m=2时g（x）的解析式，再求函数g（x）的单调增、单调减区间；
（2）由题意|x-m|=|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解，求出m的取值范围；
（3）由题意，g（x）的值域应是f（x）的值域的子集；由此求出m的取值范围．

解答 解：（1）函数g（x）=x|x-m|+2m-8，m为参数；
m=2时，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2）-4，x≥2}\\{x（2-x）-4，x＜2}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-4，x≥2}\\{{-x}^{2}+2x-4，x＜2}\end{array}\right.$；
函数g（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞），
单调减区间为（1，2）；（开闭均可）…（3分）
（2）由f（x）=2^|x-m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解，
得|x-m|=|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解；
即（x-m）²=m²，解得x=0或x=2m，
由题意知2m=0或2m＜-2，即m＜-1或m=0；
综上，m的取值范围是m＜-1或m=0；          …（7分）
（3）由题意，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-m}，x≥m}\\{{2}^{m-x}，x＜m}\end{array}\right.$，
则g（x）的值域应是f（x）的值域的子集；      …（9分）
当m＜4时，f（x）在（-∞，m）上单调递减，[m，4]上单调递增，
故f（x）≥f（m）=1；
g（x）在[4，+∞）上单调递增，故g（x）≥g（4）=8-2m；
所以8-2m≥1，即m≤$\frac{7}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了绝对值的意义与函数的性质应用问题，是综合题．