Question

17．设函数f（x）=e^x-2x+2a．
（1）求f（x）极值；
（2）当x＞0时，e^x＞x²-2ax+1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x-2，令f′（x）=e^x-2=0，解得x=ln2．利用导数可得其单调性极值．
（2）当x＞0时，e^x＞x²-2ax+1，即e^x-x²+2ax-1＞0，令g（x）=e^x-x²+2ax-1，g′（x）=e^x-2x+2a=f（x）．由（1）可得：x=ln2时，函数g′（x）取得极小值2-2ln2+2a．对a分类讨论利用导数可得其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2，令f′（x）=e^x-2=0，解得x=ln2．
可得：x∈（0，ln2）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．可得x=ln2时，函数f（x）取得极小值f（ln2）=2-2ln2+2a．无极大值．
（2）当x＞0时，e^x＞x²-2ax+1，即e^x-x²+2ax-1＞0，
令g（x）=e^x-x²+2ax-1，
g′（x）=e^x-2x+2a=f（x）．
由（1）可得：x=ln2时，函数g′（x）取得极小值2-2ln2+2a．
当a≥ln2-1时，由（1）可得：g′（x）＞g′（ln2）≥0，g（x）在R上单调递增，∴x＞0时，g（x）＞g（0）=0．
当a＜ln2-1时，由（1）可得：若x∈（0，ln2），g′（x）＜g′（ln2）＜0，g（x）在R上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．舍去．
综上可得：实数a的取值范围是：[ln2-1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．